Question

如图 在RT△ABC中，∠B=90º ，AD平分∠BAC，∠BAD=α，sinα=√5/5，AB=1

如图 在RT△ABC中，∠B=90º ，AD平分∠BAC，∠BAD=α，sinα=√5/5，AB=12
1.线段BD的长度为_（填空）
2.求线段CD的长度和sin2α的值（乘2不是平方 详细过程）
这道题好难 求解答 谢谢
AB=12 1.线段BD的长度为_（填空）
2.求线段 CD的长度和sin2a的值（乘2不是平方详细过程）

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Answer 1

⑴∵sinα=BD/AD=√5/5，设BC=√5X(X>0)，则AD=5X，
∴AB^2=AD^2-BD^2=20X^2，
∴20X^2=12^2，X=6√5/5，
∴BD=√5X=6，AD=6√5。
⑵过D作DE⊥AC于E，∵AD平分∠BAC，∴DE=D=6，∴AE=AB=12，
∵∠C=∠C，∠CED=∠CBA=90°，
∴ΔCDE∽ΔCAB，∴CE/BC=DE/AB=1/2，
∴BC=2CE，设CE=Y(Y>0)，则BC=2Y，CD=2Y-6，
在RTΔCDE中，CD^2=DE^2+CE^2，
∴(2Y-6)^2=36+Y^2，Y=8或0(舍去)，
∴CD=2Y-6=10，∴BC=16，AC=AE+Y=20，
∴sin2α=sin∠BAC=BC/AC=16/20=4/5。

Answer 2

⑴sinα=√5/5 ∴cosα=2√5/5
AD=AB/cosα=6√5
∴BD=ADsinα=6
⑵sin2α=2sinαcosα=4/5
cos2α=3/5
AC=AB/cos2α=20
BC=ACsin2α=16
CD=BC-BD=10
另解：⑴sinα=√5/5=BD/AD 1/5=BD²/AD ² AD²=5BD²
AB²+BD²=AD² 12²+BD²=5BD² ∴ BD=6
⑵由角平分线定理得 BD/CD=AB/AC
AB²+BC²=AC²
BD²/CD²=AB²/AC²=AB²/(AB²+BC²)=AB²/[AB²+(BD+CD)²]
36/CD²=144/[144+(6+CD)²]
整理得：CD²-4CD-60=0
∴CD=10
BC=6+10=16 AC=√(AB²+BC²)=√400=20
sin2α=BC/AC=16/20=4/5