Question

已知奇函数f(x在区间[a,b]上单调递增，证明f(x)在区间[-b,-a]也单调递增

Answer 1

不妨设a,b大于0。任取X1<X2且二者属于【a,b，】则-x1,-x2属于【a,b】，且-x1>-x2,所以f(-x1)>f(-x2)，因为是奇函数，所以f(x1)<f(x2)，则可证f(x)在【-a,-b】也是递增的

追答

符号好难打的，望好评

追问

为什么因为是奇函数，所以f(x1)<f(x2)，

奥，我知道了，

但是还是谢谢啊

追答

谢谢

追问

不用，

Answer 2

用定义法即可证明：
令 a=<x1<x2<=b
由递增性有： f(x1)<f(x2)
同时乘以-1，不等号反向得： -b=<-x2<-x1<=-a
根据奇函数性质 f(-x1)=-f(x1), f(x2)=-f(x2)
因此有：-f(x1)>-f(x2)
故有： f(-x1)>f(-x2)
所以在区间[-b,-a]也单调递增

追问

那，f(x2)不是应该等于-f(-x2)吗

f(x)不是等于-f(-x)吗

谢谢

Answer 3

事实上，对于[-b,-a]上的任意x，y（设x< y），有-y，-x位于[a,b]上并且-y<-x.由f(x)在[a,b]上单调增加，有f(-y)<f(-x)。再由f(x)是奇函数，有-f(y)<-f(x)亦即f(x)<f(y)。
综上，对于[-b,-a]上的任意x，y，当x< y时有f(x)<f(y)。故f(x)在[-b,-a]单调增加。