Question

三角形ABC中,AB=3,AC=根号3，角A=30度，过A作AD垂直BC， 若向量AD=m向量AB+n向量AC，m-n为

Answer 1

这个题目条件给的太充分了，反而不好做了。想不解出m和n，未果。
△ABC中，AB=3，AC=sart(3)，∠A=π/6，可以得出∠B=π/6，∠C=2π/3
点D位于线段BD的延长线上，且|BD|=|AB|*cos(π/6)=3sqrt(3)/2，且：向量BD=AD-AB
=(m-1)AB+nAC，向量BC=AC-AB，而：AD dot BC=0
即：(mAB+nAC) dot (AC-AB)=n|AC|^2-m|AB|^2+(m-n)(AB dot AC)=0
即：3n-9m+(m-n)3*sqrt(3)*sqrt(3)/2=0，所以：n=-3m
又：向量BD dot AB=((m-1)AB+nAC) dot AB=(m-1)|AB|^2+n|AB|*|AC|cos(π/6)=9(m-1)+9n/2
=(3sqrt(3)/2)*3*(-sqrt(3)/2)=-27/4，故：4m+2n=-1，所以可得：m=-1/2，n=3/2
所以：m-n=-2