Question

已知公差不为0的等差数列{an}的前3项和S3=9，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式和前n项

已知公差不为0的等差数列{an}的前3项和S3=9，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn（2）设Tn为数列{1anan+1}的前n项和，若Tn≤λan+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

（1）由S₃=9，可得3a₁+3d=9即a₁+d=3①（2分）
∵a₁，a₂，a₅成等比数列．
∴a1(a1+4d)=(a1+d)2②；
联立①②得a₁=1，d=2；…（4分）
故a_n=2n-1，Sn=n2…（6分）
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（8分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（10分）
由T_n≤λa_n+1得：

n

2n+1

≤λ(2n+1)
∴λ≥

n

(2n+1)2

=

1

4n+ 1 n +4

令f（n）=

1

4n+ 1 n +4

，
∵f（n）单调递减，
∴f（n）≤

1

9

即λ≥

1

9

…（12分）