Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE ∥ AB，交BC于E．（1）求证：ED为⊙

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE ∥ AB，交BC于E．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，CD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠CDA=90°=∠BDC， ∵OE ∥ AB，CO=AO， ∴BE=CE， ∴DE=CE， ∵在△ECO和△EDO中 DE=CE EO=EO OC=OD ， ∴△ECO≌△EDO， ∴∠EDO=∠ACB=90°， 即OD⊥DE，OD过圆心O， ∴ED为⊙O的切线． （2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N， 则OM ∥ FN，∠OMN=90°， ∵OE ∥ AB， ∴四边形OMFN是矩形， ∴FN=OM， ∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5， ∴AC=2OC=6， ∵OE ∥ AB， ∴△OEC ∽ △ABC， ∴ OC AC = OE AB ， ∴ 3 6 = 5 AB ， ∴AB=10， 在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC= 1 0 2 - 6 2 =8， sin∠BAC= BC AB = OM OA = 8 10 ， 即 OM 3 = 4 5 ， OM= 12 5 =FN， ∵cos∠BAC= AC AB = AM OA = 3 5 ， ∴AM= 9 5 由垂径定理得：AD=2AM= 18 5 ， 即△ADF的面积是 1 2 AD×FN= 1 2 × 18 5 × 12 5 = 108 25 ． 答：△ADF的面积是 108 25 ．