Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作圆O，交AB边于点D，过点O作OE∥AB，交BC边于点E．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作圆O，交AB边于点D，过点O作OE∥AB，交BC边于点E．
（1）试判断ED与圆O位置关系，并给出证明；
（2）如果圆O的半径为 1.5，ED=2，求AB的长．,
（3）在（2）的条件下，延长EO交圆O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积。

Answer 1

1、连接OD
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∵OE∥AB
∴∠COE=∠OAD，∠ODA=∠DOE
∴∠COE=∠DOE
∵OC=OD，OE=OE
∴△COE≌△DOE(SAS)
∴∠ODE=∠C=90°
∴ED的圆O的切线
2、∵△COE≌△DOE
∴CE=ED=2
∵OC=OA=1.5
∴OE=√(OC²+CE²)=√(1.5²+2²)=2.5
∵O是AC的中点，OE∥AB
∴OE是△ABC的中位线
∴AB=2OE=5
3、连接CD交OE于G
∵AC是直径
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠CAB=∠CAD
∠ACB=∠ADC
∴△ABC∽△ADC
∴AC/AB=AD/AC
AC²=AD×AB(射影定理）
∴AD=AC²/AB=(1.5+1.5)²/5=9/5
∴CD²=AC²-AD²=3²-(9/5)²=12²/5²
CD=12/5
∵OC=OD，OG=OG
∠COG=∠DOG(∠COE=∠DOG)
∴△COG≌△DOG(SAS)
∴DG=CG=1/2CD=1/2×12/5=6/5
∴S△ADF=1/2AD×DG=1/2×9/5×6/5=27/25(CD⊥AB，EF∥AB，DG是△ADF的高）

Answer 2

1)∵AC为圆O直径
∴AB⊥CD，
又O为AC中点，OE∥AB
∴E为BC中点
在Rt△BCD中，DE=CE
又OC=OD，OE=OE
∴△OCE≌△ODE
∴DE⊥DC
∴ED为圆O的切线
2）过O做AB垂线交AB于M，过F做AN垂线交AB于N
则OM∥FN
又OF∥MN，∠OMN=90°
∴四边形OMNF为矩形
∴FN=OM
根据三角关系（△ABC为特殊三角形，边长为6,8,10）
OM=0.8XAO=2.4
AD=0.6XAC=3.6
所以S△ADF =1/2XADXOM

追问

第3问答到追加15分

追答

2）问就是第三问 你的第2问我没答

追问

第二问AB=5

追答

3)过O做AB垂线交AB于M，过F做AN垂线交AB于N
则OM∥FN
又OF∥MN，∠OMN=90°
∴四边形OMNF为矩形
∴FN=OM
根据三角关系（△ABC为特殊三角形，边长为6,8,10）
OM=0.8XAO=2.4
AD=0.6XAC=3.6
所以S△ADF =1/2XADXOM =4.32

Answer 3

解：（1）连接OD，
则∠HOD=2∠A，
已知∠HDE=2∠A，
则∠HOD=∠HDE，
∵HD⊥AB，
∴∠HOD+∠HDO=90°，
∴∠HDE+∠HDO=90°，
即OD⊥DE，
又OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；