Question

一道有关集合的数学题

设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：
（1）A的元素个数不小于3；
（2）若a∈A，则a的所有因数都属于A；
（3）若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A。
求证：A=N*
我有答案，但是看不懂。
求解释：
1、2、3、4、5都是集合A的元素。假设1，2，…，n∈A（n≥5），下证n+1∈A。
如果n+1=2k+1为奇数，那么3≤k＜n，于是n+1=1+2k∈A；
如果n+1=2k是偶数，那么3≤k＜n，于是n=2k-1∈A，1+2k∈A，所以1+（2k-1）（2k+1）=4k²∈A，即n+1∈A
综上所述，我们证明了A=N*

Answer 1

任何数都有因数1。如果集合中没有2，则它没有偶数作元素，必存在1<a<b, 其中a，b为奇数，而1+ab为偶数，矛盾。
下先证4。我们有第三个数c，则1+2c,1+2(1+2c)=4c+3为奇数属于A，则(2c+1)(4c+3)+1=d属于A，且d为偶数，d>2。同理可知(2d+1)(4d+3)+1=8d^2+10d+4属于A且为4的倍数，所以4属于A。
1+2*4=9，所以3，9属于A,1+2*3=7,1+2*7=15所以5，7属于A
后面开始数学归纳法
假设1，2，…，n∈A（n≥5），下证n+1∈A。

若n是偶数，则存在a=n/2,有归纳假设知 a∈A ，且a>2 ，而n+1=1+2a∈A
若n是奇数，设n=2k-1, 其中k>2, 由归纳假设值k∈A ，由条件3知n+2=1+2k∈A
再由条件3知且1+n(n+2)=(n+1)²∈A
n+1是(n+1)²的因数，因此由条件2知n+1∈A

Answer 2

假设：A不等于N*，取A=0，则0不满足所有因数都属于A，所以A不属于N*不成立
即，A=N*
记得上学的时候，这种证明题就是反过来证明的，希望能帮到你

Answer 3

2）若a∈A，则a的所有因数都属于A； 这句话最关键
必须是正整数集

答案用的是数学归纳法，这道题考得是数论，看看竞赛书，这部分讲解很详细