Question

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD， 又∵CE∥AD， ∴四边形AECD是平行四边形． ∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD， ∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD， ∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE， ∴四边形AECD是菱形； （2）解：△ABC是直角三角形． 证法一：∵E是AB中点，∴AE=BE． 又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE， ∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°， ∴2∠BCE+2∠ACE=180°， ∴∠BCE+∠ACE=90°．即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC， 设DE交AC于F，∵E是AB的中点，且F为AC中点， ∴EF∥BC．∠AFE=90°， ∴∠ACB=∠AFE=90°，∴BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形．