Question

n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的______条件

n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的______条件．

Answer 1

n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。

n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件A有n个线性无关的特征向量，而特征值不同特征向量一定不同，由n阶方阵A具有n个不同的特征值可以推出A与对角阵相似，所以n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。

但反之，则不一定成立。A与对角阵相似，特征值可能不同，也有可能出现相同的情况，只要满足A有n个线性无关的特征向量即可，所以n阶方阵A具有n个不同的特征值不是A与对角阵相似的必要条件。

扩展资料

判断两个矩阵是否相似的辅助方法
1、判断特征值是否相等；
2、判断行列式是否相等；
3、判断迹是否相等；
4、判断秩是否相等。
以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。
（两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）

参考资料来源：百度百科-特征值

参考资料来源：百度百科-相似矩阵

Answer 2

n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。

A具有n个不同的特征值，则A一定有n个线性无关的特征向量，根据“n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件A有n个线性无关的特征向量”，因此A与对角阵相似。故n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。

但反之，不一定成立。若A与对角阵相似，A可能有n个不同的特征值，也可能有相同的特征值，故n阶方阵A具有n个不同的特征值不是A与对角阵相似的必要条件。

扩展资料：

矩阵可对角化有两个充要条件：

1、矩阵有n个不同的特征向量；

2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。

对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。

若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。

参考资料来源：百度百科-特征值

Answer 3

由于“n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件A有n个线性无关的特征向量”，而A具有n个不同的特征值，则
A一定有n个线性无关的特征向量
因此，n阶方阵A具有n个不同的特征值?A与对角矩阵相似
但反之，不一定成立
如：A＝

?2 1 1 0 2 0 4 1 3

，A相似于

?1       2       2

，但A只有两个不同的特征值-1和2
从而n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件．
故填“充分”

Answer 4

充分但不必要。
证明：非必要性：n阶单位矩阵E可对角化（或者，它本来就是对角矩阵，它与他自己相似），然而它的特征值都是1,或者说它的全部特征值是1。来自邱森的《高等代数》216页