Question

已知 对于任意 的总有 ，且 时， ① 求证: 在 上是减函数② 求 在 上的最大值和最小值。

已知 对于任意 的总有 ，且 时， ① 求证: 在 上是减函数② 求 在 上的最大值和最小值。

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Answer 1

①略 ② f ( x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

证明：(1 )设 x 1 > x 2 ，则 f ( x 1 )－ f ( x 2 )＝ f ( x 1 － x 2 ＋ x 2 )－ f ( x 2 )＝ f ( x 1 － x 2 )＋ f ( x 2 )－ f ( x 2 )＝ f ( x 1 － x 2 ) 又∵ x >0时， f ( x )<0，而 x 1 － x 2 >0，∴ f ( x 1 － x 2 )<0，即 f ( x 1 )< f ( x 2 )，∴ f ( x )在R上是减函数． (2)解：∵ f ( x )在R上是减函数，∴ f ( x )在[－3,3]上也是减函数．∴ f ( x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为 f (－3)与 f (3)，而 f (3)＝3 f (1)＝－2 ，由题意知 f (0)＝ f (0)＋ f (0)，∴ f (0)＝0，∴ f (0)＝ f ( x － x )＝ f ( x )＋ f (－ x )，∴ f ( x )＝－ f ( x )，故 f ( x )为奇函数． f (－3)＝－ f (3)＝2. ∴ f ( x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.