Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an．（I）证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式a

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an．（I）证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=log2（an+2），求证：1b21+1b22+…+1b2n＜1．

Answer 1

证明：（I）由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴数列{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+2=4?2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（Ⅱ）由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，
∴

1

bn2

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

?

1

n+1

∴

1

b 2 1

+

1

b 2 2

+…+

1

b 2 n

＝(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)＝1?

1

n+1

＜1．