Question

如图，已知四边形ABCD是边长为4cm的正方形，直线AD垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点E是该圆上异于A，B

如图，已知四边形ABCD是边长为4cm的正方形，直线AD垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点E是该圆上异于A，B的一点，连接AE、BE、DE、CE．（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；（2）若∠BAE=30°，求几何体CD-ABE的体积．

Answer 1

解：（1）设以AB为直径的圆所在的平面为α，
∵AD⊥α，BE?α
∴BE⊥AD
∵AB是圆的直径，E点在圆上，
∴BE⊥AE
∵AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，
∵BE?平面BCE
∴平面BCE⊥平面ADE，即平面ADE⊥平面BCE；
（2）过点E作EF⊥AB于F，
∵AD⊥平面ABE，EF?平面ABE，
∴EF⊥AD
又∵EF⊥AB，AB∩AD=A，AB、AD?平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，可得EF是四棱锥E-ABCD的高线，
∵Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=4，
∴AE=ABcos30°=2

3

∴Rt△AEF中，EF=AEsin30°=

3

因此四棱锥E-ABCD的体积为V=

1

3

?S_{正方形ABCD}?EF=

1

3

×4²×

3

=

16

3

3

即：几何体CD-ABE的体积是

16

3

3

．