Question

已知等比数列{an}首项为a1，公比为q，求：（1）该数列的前n项和Sn．（2）若q≠1，证明数列{an+1}不是等比

已知等比数列{an}首项为a1，公比为q，求：（1）该数列的前n项和Sn．（2）若q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}为等比数列，∴an＝a1qn?1．

∴Sn＝a1+a2+…+an＝a1+a1q+…+a1qn?1

∴qSn＝a1q+a1q2+…+a1qn
∴(1?q)Sn＝a1?a1qn
当q=1时，a_n=a₁
∴S_n=na₁
当q≠1时，Sn＝

a1(1?qn)

1?q

∴Sn＝

na1，q＝1 a1(1?qn) 1?q ，q≠1

（2）假设数列{a_n+1}是等比数列，则(a1+1)(a3+1)＝(a2+1)2，即(a1+1)(a1q2+1)＝(a1q+1)2a12q2+a1q2+a1+1＝a12q2+2a1q+1
∴a1q2+a1?2a1q＝0．
∵a₁≠0．
∴q²+1-2q=0即（q-1）²=0．
∴q=1这与已知q≠1矛盾．
∴{a_n+1}不是等比数列．