(2013?金山区二模)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,P为BC的中点,E、F分别是AB、AC上的动点,∠EP
(2013?金山区二模)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,P为BC的中点,E、F分别是AB、AC上的动点,∠EPF=45°.(1)求证:△BPE∽△CFP...
(2013?金山区二模)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,P为BC的中点,E、F分别是AB、AC上的动点,∠EPF=45°.(1)求证:△BPE∽△CFP.(2)设BE=x,△PEF的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.(3)当E、F在运动过程中,∠EFP是否可能等于60°?若可能求出x的值,若不可能请说明理由.
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解:(1)如图,∵在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,
∴∠B=∠C=45°.
又∵∠1=180°-∠EPF-∠3,∠EPF=45°,∠C+∠2+∠3=180°,
∴∠1=135°-∠3,∠2=135°-∠3,
∴∠1=∠2,
∴△BPE∽△CFP.
(2)如图,∵在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,P为BC的中点,
∴BP=CP=
.
由(1)知△BPE∽△CFP,则
=
,即
=
,
解得,CF=
.
则S△PEF=S△ABC-S△BPE-S△PFC-S△AEF
=
×2×2-
×
x×sinB-
×
×
×sinC-
×(2-x)×(2-
)
=2-
∴∠B=∠C=45°.
又∵∠1=180°-∠EPF-∠3,∠EPF=45°,∠C+∠2+∠3=180°,
∴∠1=135°-∠3,∠2=135°-∠3,
∴∠1=∠2,
∴△BPE∽△CFP.
(2)如图,∵在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,P为BC的中点,
∴BP=CP=
2 |
由(1)知△BPE∽△CFP,则
BP |
CF |
BE |
CP |
| ||
CF |
x | ||
|
解得,CF=
2 |
x |
则S△PEF=S△ABC-S△BPE-S△PFC-S△AEF
=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
x |
1 |
2 |
2 |
x |
=2-