Question

如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、BC边的延长线上的点，且BD=CE，DC的延长线交AE于点F，AG⊥CD于点G．（

如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、BC边的延长线上的点，且BD=CE，DC的延长线交AE于点F，AG⊥CD于点G．（1）求证：△ACE≌△CBD；（2）若AF=(?3)2，试求FG的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠DBC=180°-60°=120°，
同理∠ECA=120°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴△DBC≌△ECA（SAS），
即△ACE≌△CBD；

（2）解：由（1）知△ACE≌△CBD，
∴∠CAE=∠BCD，∠D=∠E，
∵∠ABC=∠D+∠BCD=60°，
∴∠E+∠BCD=60°，
又∵∠AFC=∠E+∠ECF，∠ECF=∠BCD，
∴∠AFC=∠E+∠BCD=60°，
∵AG⊥DC，
∴∠GAF=30°，
∵AF=

(?3)2

，
∴AF=3，
在Rt△AGF中，GF=

1

2

AF=

1

2

×3=

3

2

．