Question

（2013?南开区二模）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．（1

（2013?南开区二模）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE（2）求证：D1E⊥A1D；（3）求点B到平面A1DE的距离．

Answer 1

解答：（1）证明：∵正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点，设O为AD₁的中点，
则由三角形的中位线性质可得OE∥BD₁．
由于OE?平面A₁DE，BD₁不在平面A₁DE内，故BD₁∥平面A₁DE．
（2）证明：由题意可得D₁A 是D₁E在平面AA₁D₁D内的射影，由正方形的性质可得D₁A⊥A₁D，
由三垂线定理可得D₁E⊥A₁D．
 （3）设点B到平面A₁DE的距离为h，由于线段AB和平面A₁DE交于点E，且E为AB的中点，
故A、B两点到平面A₁DE的距离相等，即求点A到平面A₁DE的距离h．
由于S△A1DE=

1

2

×

2×

×

2

×sin60°=

3

2

，S△A DE=

1

2

×1×1=

1

2

，
∵VA?A1DE=VA1?ADE，
∴

1

3

?S△A1DE?h=

1

3

?S △A DE?A1A，即

1

3

×

3

2

×h=

1

3

×

1

2

×1，解得 h=

3

3

．