Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（Ⅱ）若 AD=2 3 ，AE=6 ，求EC的长．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE． ∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO， ∴∠CBE=∠BEO，∴BC ∥ OE．…（3分） ∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．    …（5分） （Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA 2 =OE 2 +AE 2 ，即 (r+2 3 ) 2 = r 2 + 6 2 ， 解得 r=2 3 ，…（7分） ∴OA=2OE， ∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°． ∴在Rt△BCE中，可得EC= 1 2 BE= 1 2 × 3 r= 1 2 × 3 ×2 3 =3 ．                 …（10分）