Question

如图，已知抛物线P：y=ax 2 +bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形

如图，已知抛物线P：y=ax 2 +bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围。

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Answer 1

解：（1）设 任取x,y的三组值代入，求出解析式 令y=0，求出 ；令x=0，得y=-4， ∴ A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）。 （2）由题意， 而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m 又 ，EF=DG，得BE=4-2m， ∴DE=3m ∴S DEFG =DG·DE=（4-2m）3m=12m-6m 2 （0＜m＜2）。 （3） ∵S DEFG =12m-6m 2 （0＜m＜2）， ∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，-2），F（-2，-2），E（-2，0） 设直线DF的解析式为y=kx+b，易知k= ，b=- ∴ 又可求得抛物线P的解析式为 令 ，可得x= 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为 ，过N作x轴的垂线交x轴于H，有   点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时， 此时k的取值范围是k≠ ，且k＞0。