Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（4,0），B（0，-4），C（2,0）三点。 （1）求抛物线的解

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（4,0），B（0，-4），C（2,0）三点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上的一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。

Answer 1

解：

（1）由于抛物线与x轴交于两点A、C，因此抛物线的方程形式为y=a(x-b)²+c，抛物线对称轴通过AC中点，（4+2）÷2=3，对称轴为x=3。

则b=3，y=a(x-3)²+c中，将三点坐标带入解析式，有c=-a，又-4=a(-3)²+c=9a-a=8a，

求出a=-0.5，c=0.5。解析式是y=-0.5(x-3)²+0.5。

（2）将x=m代入抛物线解析式，求出M点坐标为（m，3m-0.5m²-4），

AB=4√2，BM=√[m²+(8-3m+0.5m²)²]，

AM=√[(4-m)²+（3m-0.5m²-4）²]，

p=（AB+AM+BM）/2={4√2+√[m²+(8-3m+0.5m²)²]+√[(4-m)²+（3m-0.5m²-4）²]}/2，则S△AMB=√[p(p-AB)(p-AM)(p-BM)]

(3)初步判断，有一个位置满足要求，Q为（6，-4）。

Answer 2

-（x-3）平方+1