Question

已知函数fx=3x2+mx+2在区间[1,正无穷]是增函数，则f2的取值范围是

Answer 1

解：函数f(x) = 3x 2 + mx + 2在[1，+∞)上是增函数，配方可得f(x) = 3(x 2 + mx/3) + 2 = 3(x + m/6) 2 + 2 – m 2 /12，所以一元二次函数f(x)在x∈(-∞，-m/6]上单调递减，在x∈[-m/6，+∞)上单调递增。由已知，函数f(x)在[1，+∞)上递增，所以有 -m/6 ≤ 1，解得 m≥ -6 ； 所求f(2) = 3*2 2 + 2m + 2 = 2m + 14，因为m ≥ -6，所以2m ≥ -12，进而2m + 14 ≥ 2，也就是说明f(2) ≥ 2 ； 综上所述，f(2)的取值范围是 [2 ， + ∞ ) 。

Answer 2

f'(x)=6x+m, 根据区间[1，正无穷)是增函数，则f'(1) = 6+m >=0, 可得m>=-6，m的值域为[-6, 正无穷）。

f(2)=12+2m+2=14+2m, 根据上式可得14+2m>=14+(-6)*2=2

即f(2)>2, 依据m值不同,取值范围为[2，正无穷）。