Question

limx→a(sin^2x-sin^2a)/(x-a)

Answer 1

解法一：原式=lim(x->a)[(sinx+sina)(sinx-sina)/(x-a)] (应用两数平方差公式)
=lim(x->a)[(sinx+sina)*2cos((x+a)/2)*sin((x-a)/2)/(x-a)] (应用和差化积公式)
=lim(x->a)[(sinx+sina)*cos((x+a)/2)*sin((x-a)/2)/((x-a)/2)]
=lim(x->a)[(sinx+sina)*cos((x+a)/2)]*lim(x->a)[sin((x-a)/2)/((x-a)/2)]
=(sina+sina)*cos((a+a)/2)*1 (应用重要极限lim(z->0)(sinz/z)=1)
=2sina*cosa
=sin(2a)。
解法二：原式=lim(x->a)[(sin²x-sin²a)'/(x-a)'] (0/0型极限，应用洛必达法则)
=lim(x->a)(2sinx*cosx)
=2sina*cosa
=sin(2a)。

Answer 2

【如图】

Answer 3

这个符合极限里面的0/0型，所以通过洛比塔法则上下求导，得lim2sinxcosx，当X趋近于a时，原始等于2sinacosa=sin2a