Question

关于极限的题目。

1（1）lim n->无穷 sinx/x 不该是0吗，答案不该是0吗？
2（1）公式为lim x->0 （1+x）^1/x=e，但是这题用的是lim x->无穷 （1+x）^1/x=e，这是一个公式吗？
3.lim x->无穷 [（2x-1）x]/2=1是为什么？
4.lim arctan3x=3lim arcctanx正确吗？

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Answer 1

第1问：请注意，sin2π/n里，2π/n整个是变量，由于n→∞，2π/n→0，为了运用公式x→0时，sinx/x=1的公式，需要把外面的nR^2/2凑成1/2π/n *πR^2 ，使limsin2π/n / 2π/n=1
第二问：当是x→∞时，公式应为（1+1/x)^x=e
如x→∞时求lim(x/1+x)^x-3=lim(1+x-1/x+1)^x-3=(1 -1/1+x)^x-3==[(1 -1/1+x)^-(1+x)]^-(x-3/1+x)=e^-1
第三问没看懂你要问的
第四问，显然不行把3提到外面来

追问

第二问的=[(1 -1/1+x)^-(1+x)]^-(x-3/1+x)的这里不懂。
第四问原题是limx趋向于0，arctan3x/sin2x，不用洛必达法则求极限。
非常感谢！

追答

第二问的操作，主要是为了整形，使之能运用公式:t趋近无穷大时，lim(1+1/t)^t=e。第二题括号里的式子是1- 1/1+x，那么外面的指数要想办法凑成-(1+x),后面的工作都是围绕这个。第四题你只要注意下t趋近0时，lim tgt/t=limsint/tcost=1，即tgt和t是等价无穷小。结合这题，arctg3x和3x是等价无穷小，原题变为lim3x/sin2x,这会了吧?