Question

帮帮忙啊，初二寒假作业上的

对于任意正实数a、b，研究 与ab的大小关系.
(1) 代入数值，比较大小，发现规律
① a=3,b=1时，(a^2+b^2)/2 >ab;
② a=根号3 ,b=根号3 时，(a^2+b^2)/2___ab;
③ a=___ ，b=___ 时，(a^2+b^2)/2___ab;
a=___ ，b=___ 时，(a^2+b^2)/2___ab;

猜想：对于任意正实数a、b，(a^2+b^2)/2___ab.
(2) 构造图形验证猜想
可以用腰长分别为a、b的两个等腰直角三角形的面积的和来表示代数式 (a^2+b^2)/2 .借助这两个三角形的拼接、分割等办法验证上述猜想.（画出验证示意图，并加以说明）
(3) 应用
探究：斜边为5的直角三角形的面积的最大值. (利用上述结论进行说明

Answer 1

当a=b时，(a^2+b^2)/2=ab；

当a不等于b时，(a^2+b^2)/2>ab；

对于任意正实数a、b，(a^2+b^2)/2>=ab.

很明显，两个三角形凑起来，多了顶上的那个小三角形嘛，也就是ab<两个三角形面积之和即小于，(a^2+b^2)/2，只有a=b，才会组成一个矩形，也就是面积相等

 

第三问  就更简单 直接利用结论  当a=b时，ab最大，即面积最大，

追问

第三问详细，给你加分

追答

设直角三角形另外两条边为a，b
则a^2+b^2=5^2=25,……（1）
三角形面积s=a×b/2,要最大，则ab要最大，
而前两条已经得出结论：对于任意正实数a、b，(a^2+b^2)/2>=ab，并且当a=b时，(a^2+b^2)/2=ab，所以ab最大的情况即是a=b，带入到上面（1）式中，即得a^2=b^2=25/2；
所以s=ab/2=a^2/2=25/4

Answer 2

=
当a=b时，(a^2+b^2)/2=ab；
当a不等于b时，(a^2+b^2)/2>ab；
对于任意正实数a、b，(a^2+b^2)/2>=ab.

Answer 3

对于任意正实数a、b，研究 与ab的大小关系.(1) 代入数值，比较大小，发现规律① a=3,b=1时，(a^2+b^2)/2 >ab; ② a=根号3 ,b=根号3 时，(a^2+b^2)/2=ab; ③ a=_4__ ，b=__2_ 时，(a^2+b^2)/2_>__ab; a=__2_ ，b=__2_ 时，(a^2+b^2)/2_=__ab;猜想：对于任意正实数a、b，(a^2+b^2)/2_大于等于__ab.

追问

还有最后两问那，快帮我！

追答

见上图，假设A<B将两个三角形重叠，那么小三角形的面积加大三角形的面积为（a^2+b^2)/2.以a,b为边长的两个直角三角形面积和为ab。由图可见，两等腰直角三角形的面积和肯定大于以a,b为边长的两直角三角形的面积和。若A=B，则式子为等式。