Question

求微分方程，答案在第一行，求过程

Answer 1

首先注意积分的上下限，当x=0时，观察得到：φ(0)=1；
对已知等式两边对于x求导得到：
φ`(x)=exp(x)+xφ(x)-∫φ(t)dt-xφ(x)=exp(x)-∫φ(t)dt…………exp(x)表示e的x次幂，积分限为从0到x
注意观察当x=0时，φ`(0)=1。
对上式再次对x求导，得到一个二阶常系数非齐次微分方程：
φ``(x)=exp(x)-φ(x)
φ··+φ=exp(x)
特征方程r²+1=0，特征根r=±i，对应齐次方程的解为Dcosx+Esinx…………D和E为任意常数
根据非齐次项exp(x)的形式，假设特解为Aexp(x)，代入原方程得到：A=1/2
所以方程的通解为：(1/2)exp(x)+Dcosx+Esinx
代入初始条件φ(0)=1，φ`(0)=1，解得：
(1/2)+D=1
(1/2)+E=1
D=E=1/2
所以得到最终结果：
φ(x)=[exp(x)+cosx+sinx]/2

Answer 2

求两次导，解微分方程