Question

已知函数fx对任意x,y属于R,总有fx+fy=f(x+y),

且当x大于0时,fx小于0,f1=-2/3,求证函数fx在[-3,3]上的最大值
和最小值

Answer 1

f（1）=-2/3， and f(x)+fy=f(x+y)
f（2）=f（1）+f（1）=-4/3，
f（4）=f（2）+f（2）=-8/3，
f（6）=f（2）+f（4）=-12/3，

f（6）=f（3）+f（3）=-12/3，

f（3）=f（6）/2=-6/3=-2；

f（-3）+f（4）=f（1），
f（-3）=f（1）-f（4）=2，
f（0）=f（3）+f（-3）=0，
当x大于0时,fx小于0，函数对于点（0，0）对称，
或者说，假设x'>x,则x'-x为正，f(x'-x)<0，因此函数f（x）为单调递减。
因此函数f（x）的在【-3，3】区间内的最大值为f（-3），最小值为f（3）。

虽然这样看的话函数f(x)是线性的（一次函数），但题目本身没有说。下面的答案在一开始就给予函数是1次函数，求解过程存在瑕疵。

fx在[-3,3]上的最大值为f(-3)=2.

同理，最小值是f(3)=-2.

Answer 2

设函数fx为y=ax+b 且fx+fy=f(x+y) 则a（x+y)+b=（ax+b）+（ay+b） 所以b=0
又因为f1=-2/3 所以函数式为y=-2/3x 得出函数在[-3,3]区间为减函数，当x=-3时有最大值f(-3)=2

最小值为f（3）=-2

Answer 3

最大值为f(-3)=2