Question

如图，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形，M,N为AB,PC中点。求证MN⊥CD。

Answer 1

取CD中点E，连结ME，NE。
在矩形ABCD中，ME分别为AB和CD的中点，所以ME垂直于CD。
而PA垂直于ABCD所以PA垂直于CD，又因为ABCD为矩形，所以AD垂直于CD，所以CD垂直于平面PAD，所以PD垂直于CD，所以PCD是直角三角形，又因为NE分别为PC和CD中点，所以NE垂直于CD，综合ME垂直于CD可得，CD垂直于平面MBE，所以CD垂直于MN。

追问

为什么M,E是AB,CD中点，ME就垂直于CD了

追答

ABCD是矩形，M，E是AB和CD的中点，那么ME平行于AD，而矩形中AD垂直于CD，所以ME就垂直于CD了

Answer 2

证明：

1、作图

2、辅助线增加。连接PD，取PD的中点为Q，依次连接MQ，NQ，AQ

3、由于在三角形PDC中NQ为中位线，则有

　　　NQ//DC ,NQ平行与DC

4、由三垂线定理

      PD⊥DC。又PA⊥ABCD

5、则CD⊥平面PAD

6、又,NQ平行与DC，所以

7、NQ⊥平面PAD，即有NQ⊥QA

8、由于NQ=CD/2=AM

9、所以AQNM为矩形，所以MN⊥NQ

10、又NQ//DC，所以MN⊥CD

Answer 3

追答

额…我用了向量…