Question

如图所示，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB，PC的中点，（1）求直线MN

如图所示，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB，PC的中点，（1）求直线MN和AD所成角；（2）求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

证明：（1）取PD中点E，连结AE和NE
因为M、N分别是AB，PC的中点，△PCD中，NE∥CD∥AB，且NE=AM
所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，
所以直线MN和AD所成角即直线AE和AD所成角
PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，△PAD是等腰三角形，
则直线AE和AD所成角为45度；
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以面PAD⊥平面ABCD且交于AD，
又因为四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，
又因为△PAD是等腰三角形，所以PA=AD，所以AE⊥PD
所以AE⊥面PCD，又因为 MN∥AE
所以MN⊥平面PCD．

Answer 2

yongxianmianchuizhi