Question

关于x的不等式x^2-ax+2a<0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是？

Answer 1

x^2-ax+2a<0的解集为A
x^2-ax+2a=0的两根为当a²-8a≥0即a＞8或a＜0时x=a/2±√(a²-8a)
A=(a/2-√(a²-8a),a/2+√(a²-8a))
∵集合A中恰有两个整数 ∴1＜a/2+√(a²-8a)-[a/2-√(a²-8a)]＜2
1＜√(a²-8a)＜2
1＜a²-8a＜4
4-2√5＜a＜4-√17 或 4+√17＜a＜4+2√5
综上得实数a的取值范围是
4-2√5＜a＜4-√17 或 4+√17＜a＜4+2√5

Answer 2

[-1，-1/3）和(25/3,9]
解法：f(x)=x2-ax+2a
a^2-8a>0,有 8<a或a<0

当a<0时，f(0)<0,且对称轴在y轴左侧
两整数为0，-1
f(-1)<0, f（-2)>=0， f（1)>=0
解得[-1，-1/3）
当a>8时，对称轴x=a/2>4

采用逐步逼近法
∵集合A中恰有两个整数 ∴x1-x2<=3
a/2+√(a²-8a)-[a/2-√(a²-8a)]<=3
√(a²-8a)＜3
a²-8a＜9
8<a<=9
所以对称轴比4大，比5小
而f(2)=4>0
所以两整数为3，4
f(3)<0, f（5)>=0 .f(4)<0
解得(25/3,9]
综上 [-1，-1/3）和(25/3,9]

Answer 3

显然解集A不为空
令f(x)=x^2-ax+2a
则⊿=a^2-8a>0
即a<0或a>8（*）

令x^2-ax+2a=0
x1和x2为其不同的两个根
则集合A={x1<x<x2}
因集合A中恰有两个整数
显然这两个整数相邻
不妨令这两个整数为n和n+1
则n-1≤x1<n，n+1<x2≤n+2
注意到-n<-x1≤-n+1
由此可知1<x2-x1≤3
即1<|x1-x2|≤3（I）

对于方程x^2-ax+2a=0
由韦达定理有
x1+x2=a
x1x2=2a
因|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(a^2-8a)
结合（I）则有1<√(a^2-8a)≤3
即有1<a^2-8a≤9（显然满足（*））
解得-1≤a<4-√17或4+√17<a≤9

当-1≤a<4-√17时
显然f(x)对称轴-1<x=a/2<0
此时集合A所包含的两个整数为-1和0
于是有：
f(-1)<0，即1+3a<0
f(0)<0，即2a<0
所以-1≤a<-1/3（注意到4-√17>-1/3）

当4+√17<a≤9
显然f(x)对称轴4<x=a/2<5
此时集合A所包含的两个整数为4和5
于是有：
f(4)<0，即16-2a<0
f(5)<0，即25-3a<0
所以25/3<a≤9（注意到4+√17<25/3）

综上，满足条件的a的取值范围为[-1，-1/3)U(25/3，9]

Answer 4

　　解：x^2-ax+2a<0可化为（x-a/2)²+2a-a²/4＜0，因此
　　2a-a²/4＜0，即a（8-a）＜0，解得a＜0或a＞8