Question

椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为√3/2，且过点（2，0）

椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为√3/2，且过点（2，0） （1）求椭圆C的方程 （2）设直线l：y=x+m与椭圆C交于两点A，B，O为坐标原点，若三角形OAB为直角三角形，求m的值

Answer 1

解：（1）椭圆C过点(2,0)，则a=2，又e=c/a=√3/2，故c=√3，b=√(a²-c²)＝1.故C方程为x²/4+y²＝1.
　　（2）①直角顶点是A或B时，点A或B应在直线y=-x上，联立y=-x及y=x+m得x=-m/2,y=m/2.又族含A，B点在椭圆上，代入椭圆方程得5m²/16＝1，解得m＝±4√5/5.验证知成立.
　　　　 ②直角顶点是O时，设A(x1,x2),B(x2,y2)，则向量OA·OB＝x1x2+y1y2=0.
　　　早穗纳　　 联立直线方程与椭圆方程得：5x²+8mx+4m²-4＝0；5y²-2my+m²-4＝0，由韦达定理得x1x2=4(m²-1)/5，y1y2=(m²-4)/5，故x1x2+y1y2=m²-8/5＝0，m＝±2√10/5.验证知成立.
　　陆没　　 综上，m=±4√5/5或±2√10/5.