Question

求不定积分∫x/(1-x^3)dx=

Answer 1

x/(1 - x³) = x/[(1 - x)(1 + x + x²)] = A/(1 - x) + (Bx + C)/(1 + x + x²)
x = A(1 + x + x²) + (Bx + C)(1 - x)
x = (A - B)x² + (A + B - C)x + (A + C)
A - B = 0 ==> B = A
A + B - C = 1
A + C = 0 ==> C = - A

A + B - C = 1
A + A + A = 1 ==> A = 1/3
B = 1/3，C = - 1/3

x/(1 - x³) = (x - 1)/[3(x² + x + 1)] - 1/[3(x - 1)]

∫ x/(1 - x³) dx
= (1/3)∫ (x - 1)/(x² + x + 1) dx - (1/3)∫ 1/(x - 1) dx
= (1/3)∫ [(1/2)(2x + 1 - 1) - 1]/(x² + x + 1) dx - (1/3)∫ 1/(x - 1) d(x - 1)
= (1/6)∫ (2x + 1)/(x² + x + 1) dx - (1/2)∫ 1/(x² + x + 1) dx - (1/3)Ln|x - 1|
= (1/6)∫ d(x² + x + 1)/(x² + x + 1) - (1/2)∫ 1/[(x + 1/2)² + 3/4] - (1/3)Ln|x - 1|
= (1/6)Ln|x² + x + 1| - (1/2)(2/√3)arctan[(x + 1/2) • 2/√3] - (1/3)Ln|x - 1| + C
= (1/6)Ln(x² + x + 1) - (1/3)Ln|x - 1| - (1/√3)arctan[(2x + 1)/√3] + C

追问

有简便方法吗？

追答

没有了，分母可以因式分解很好了
如果分子是x²的话还好凑微分

追问

可是这是高数的不定积分。不是微积分哦

追答

就是不定积分嘛，我都做得滚瓜烂熟了，加上软件验算也是这结果没错的
别把微积分当是个范畴，微积分只是积分学和微分学的总称而已

追问

可是实在不好意思，我看来下答案，你的答案错的诶~~~

追答

原来是你的格式不对了- -
原式是∫ x/(1 - x)³ dx嘛？怎么你会写成∫ x/(1 - x³) dx呢？3次方在括号内或外，过程有很大分别
令u = 1 - x，x = 1 - u，dx = - du
∫ x/(1 - x)³ dx
= ∫ (1 - u)/u³ • (- du)
= ∫ (u - 1)/u³ du
= ∫ (1/u² - 1/u³) du
= 1/(2u²) - 1/u + C
= 1/[2(1 - x)²] - 1/(1 - x)] + C
= (2x - 1)/[2(1 - x)²] + C

Answer 2

∫［x/（1－x^3）］dx
＝－（1/3）∫［（1－2x＋x^2－1－x－x^2）/（1－x^3）］dx
＝－（1/3）∫［（1－2x＋x^2）/（1－x^3）］dx＋（1/3）∫［（1＋x＋x^2）/（1－x^3）］dx
＝－（1/3）∫［（1－x）^2/（1－x^3）］dx＋（1/3）∫［1/（1－x）］dx
＝－（1/3）∫［（1－x）/（1＋x＋x^2）］dx－（1/3）∫［1/（1－x）］d（1－x）
＝－（1/6）∫［（3－1－2x）/（1＋x＋x^2）］dx－（1/3）ln｜1－x｜
＝－（1/2）∫［1/（1＋x＋x^2）］dx＋（1/6）∫［（1＋2x）/（1＋x＋x^2）］dx
　－（1/3）ln｜1－x｜
＝（1/6）［1/（1＋x＋x^2）］d（1＋x＋x^2）－（1/3）ln｜1－x｜
　－（1/2）∫｛1/［（1/2＋x）^2＋3/4］｝dx
＝（1/6）ln（1＋x＋x^2）－（1/3）ln｜1－x｜－2∫｛1/［（1＋2x）^2＋3］｝dx
＝（1/6）ln（1＋x＋x^2）－（1/3）ln｜1－x｜－∫｛1/［（1＋2x）^2＋3］｝d（1＋2x）
＝（1/6）ln（1＋x＋x^2）－（1/3）ln｜1－x｜
　－（1/3）∫｛1/［（1/3）（1＋2x）^2＋1］｝d［（1＋2x）/√3］
＝（1/6）ln（1＋x＋x^2）－（1/3）ln｜1－x｜－（1/3）arctan［（1＋2x）/√3］＋C

追问

唉，有简便点的吗？再说答案也错了哦

追答

抱歉！无法再简单了，但从倒数第二行开始出错，现更正如下：
∫［x/（1－x^3）］dx
＝－（1/3）∫［（1－2x＋x^2－1－x－x^2）/（1－x^3）］dx
＝－（1/3）∫［（1－2x＋x^2）/（1－x^3）］dx
＋（1/3）∫［（1＋x＋x^2）/（1－x^3）］dx
＝－（1/3）∫［（1－x）^2/（1－x^3）］dx＋（1/3）∫［1/（1－x）］dx
＝－（1/3）∫［（1－x）/（1＋x＋x^2）］dx－（1/3）∫［1/（1－x）］d（1－x）
＝－（1/6）∫［（3－1－2x）/（1＋x＋x^2）］dx－（1/3）ln｜1－x｜
＝－（1/2）∫［1/（1＋x＋x^2）］dx＋（1/6）∫［（1＋2x）/（1＋x＋x^2）］dx
－（1/3）ln｜1－x｜
＝（1/6）［1/（1＋x＋x^2）］d（1＋x＋x^2）－（1/3）ln｜1－x｜
－（1/2）∫｛1/［（1/2＋x）^2＋3/4］｝dx
＝（1/6）ln（1＋x＋x^2）－（1/3）ln｜1－x｜－2∫｛1/［（1＋2x）^2＋3］｝dx
＝（1/6）ln（1＋x＋x^2）－（1/3）ln｜1－x｜
－∫｛1/［（1＋2x）^2＋3］｝d（1＋2x）
＝（1/6）ln（1＋x＋x^2）－（1/3）ln｜1－x｜
－（1/√3）∫｛1/［（1/3）（1＋2x）^2＋1］｝d［（1＋2x）/√3］
＝（1/6）ln（1＋x＋x^2）－（1/3）ln｜1－x｜
－（√3/3）arctan［（√3＋2√3x）/3］＋C

追问

不好意思，我做的这个定积分一般三四步就能解决的，而且你现在这个答案还是错的~~~

追答

答案肯定是正确的！你对我的答案求导数便知。
是否有更简单的表达形式，现在还没有头绪。

追问

我晕，我有答案的，就是没有具体步骤，真的是错的啦~~~不然我早就采纳你的了是那，干嘛还在这里浪费时间那

追答

从你给出的答案看，你的表达不合理。应该是求 ∫［x/（1－x）^3］dx。
∫［x/（1－x）^3］dx
＝－∫［（1－x－1）/（1－x）^3］dx
＝－∫［1/（1－x）^2］dx＋∫［1/（1－x）^3］dx
＝∫［1/（1－x）^2］d（1－x）－∫［1/（1－x）^3］d（1－x）
＝－1/（1－x）＋（1/2）［1/（1－x）^2］＋C
＝1/［2（1－x）^2］－1/（1－x）＋C