Question

数学几何难题求解

三角形ABC， 角A等于90度，角C等于70度。F为AB上一点，且角ACF等于30度。E为AC上一点，且角CFE等于20度。连接BE，求证：BE平分角ABC。

先给50，答得好再给50（三天后失效）

Answer 1

证明
∵角ACF等于30度，角CFE等于20度
∴角CEF等于180—20—30=130°
又∵角FEB=180—20—130=30°
∵角B等于180-90-70=20°
∵角ABE=180-90-80=10°
∴角ABE等于角EBC
BE平分角ABC

Answer 2

下面是一个利用三角函数的证明，需要楼主学过三角函数及其性质（要读懂这个证明，起码需要高一高二的数学知识水平）。楼主要是只想看到初中的几何学证明可能要添不少辅助线，本人对这种初中生喜闻乐见的解题方法已经力不从心了，所以只能硬着头皮开算了。

容易看出AB=AC/tan(20°)，AF=AC*tan(30°)，AE=AF*tan(40°)。

所以AE/AB=(AE/AF)*(AF/AC)*(AC/AB)=tan(20°)*tan(30°)*tan(40°)。

只要能证明tan(20°)*tan(30°)*tan(40°)=tan(10°)，即可得出角ABE=10°，即告得手。

tan(20°) * tan(30°) * tan(40°)

= tan(30°) * tan(30° - 10°) * tan(30° + 10°)

（两角和以及两角差的正切公式，tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA tanB)，tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA tanB)）

= tan(30°) * [(tan(30°) - tan(10°))/(1 + tan(30°) tan(10°))] * [(tan(30°) + tan(10°))/(1 - tan(30°)tan(10°))]

= tan(30°) * [(tan²(30°) - tan²(10°))/(1 - tan²(30°) * tan²(10°))

= tan(30°) * [(1/3 - tan²(10°))/(1 - (1/3)tan²(10°))]

= tan(30°) * [(1 - 3tan²(10°))/(3 - tan²(10°))]

= tan(30°) * tan(10°) * [(1 - 3tan²(10°))/(3tan(10°) - tan³(10°))]

（因为tan(3A)=(3tanA−tan³A)/(1−3tan²A)，所以继续化简）

= tan(30°) * tan(10°) / tan(30°) = tan(10°)，证明完毕。

关于tan(3A)=(3tanA−tan³A)/(1−3tan²A)的证明：

由正弦和余弦的三倍角公式（随便抓一本三角函数的书上都会有写）

sin(3A)=3sinA-4sin³A=3sinA-3sin³A-sin³A=3sinA(1-sin²A)-sin³A=3sinAcos²A-sin³A=cos³A(3tanA-tan³A)，

cos(3A)=4cos³A-3cosA=cos³A+3cos³A-3cosA=cos³A-3cosA(1-cos²A)=cos³A-3cosAsin²A=cos³A(1-3tan²A)，

两式一除就能证明。

追问

抱歉，我现在是中国初中毕业的数学水平，所以我更喜欢下面那位的方法

追答

赫赫，那个证明明显是错的，你还看不出来？你仔细读读那个证明，角FEB计算那步明显是在乱来。那道题不添辅助线的话，光靠算角度而不算边长，是绝对推导不出来的，群众的眼睛是雪亮的。

Answer 3

这个图片是我写的解答过程，希望还算详尽。

http://baike.baidu.com/view/276158.htm

可参考角分线定理的百科！~~

望采纳:)