Question

一道数学题

（2012•青岛）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE：S四边形PQBCD=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解题思路：（1）如图，时间为t时，DP＝t，QB=2t，各点坐标已标在图上，根据A、B两点坐标可得AB所在直线的函数式，根据P、Q两点坐标可得PQ所在直线的函数式，若想PQ⊥AB，则两直线斜率的乘积为－1，可求得t值。

（2）五边形PQBCD的面积＝梯形BCDE的面积－三角形PQE的面积，各部位尺寸已标出应该不难吧（重点是要理解图中标出的和尺寸的来历），S梯形＝18，S△PQE＝(4-t)(3-6t/5)/2

（3）欲使S△PQE：S五边形PQBCD=1：29，即三角形面积与梯形面积的比为1：30，梯形面积是不变的，只需S△PQE＝(4-t)(3-6t/5)/2＝18/30，如果这个方程有解且在规定的取值范围，则存在，此时利用面积法，可求出三角形PQ边上的高；如果这个方程无解，则不存在。

Answer 2

（1）可知DE=1/2BC=4cm
P的速度为1cm/s，P运动到E点的时间为4s
BE=1/2AB=5cm
Q运动的速度为2cm/s，Q运动到E点的时间为2.5s
由图可知，要PQ⊥AB，必然Q运动过E点
以C点为坐标原点，AB、AC分别为x、y轴建立直角坐标系
P点坐标为（t，3）
令AB的方程为y=kx+b，A（0,6）B（8,0）带入，求得
k=-3/4，b=6
AB的方程为y=-3/4x+6
Q点的坐标为x=8-2t×4/5=8-8t/5，y=2t×3/5=6t/5
PQ斜率为k1=（6t/5-3）/（8-8t/5-t）
若PQ⊥AB，k1=4/3
解得t=41/14=2.93s
（2）分解为三部分，P的矩形，Q的三角形，还有一个是PQ的梯形
y=3t+6t/5×（8-8t/5）/2+（6t/5+3）×（8-8t/5-t）/2
整理得到y=-63/25t²+87/10t+12
（3）S△PEQ=S梯形CBED-y
可以判定
不知道我哪儿算错了，看这一大堆数麻烦死了。自己算算吧，思路如此

Answer 3



（1）若 PQ⊥AB 则Q一定在AE上（自行理解）

∴Rt△PEQ∽Rt△ABC ∴EQ:EP=BC:BA=(2t-5):(4-t)=4:5
∴t=41/14 (答案有可能会算错 自己算一遍)

（2）S(y)=S（梯BCDE）-S（△PQE）=1/2×（4+8）×3-1/2×（4-t）×（5-2t）×3/5
=﹣3/5t^2+39/10t+12 (0＜t≤5)

（3）（根据我的计算 不一定对）不存在 因为解关于面积比的方程 一个根是7多 一个是﹣1多 不符合（2）中函数的取值范围 所以不存在