Question

已知关于x的一元二次方程x²-2(a-2)x+b²+16=0

1，若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两个正根的概率。
2，若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率。

Answer 1

解：
方程有实根的要求是△=[2(a-2)]²-4(b²+16)≥0，化简得到a²-4a-b²-12≥0，变形一下：b²≤(a-6)(a+2)
（1）∵b²≤(a-6)(a+2)，显然要求(a-6)(a+2)>0,则a<-2,a>6
又由于a=1,2,3,4,5,6,所以方程实根都不存在
有正根的概率为0
（2）没有实根：△=[2(a-2)]²-4(b²+16)＜0，b²>(a-6)(a+2)
因为2<a<6,那么(a-6)(a+2)<0，b²>(a-6)(a+2)恒成立
那么没有实数根的概率为1，【值得考虑的是a=6，b=0的有实数根情形不过个别点不影响概率值】

Answer 2

1.有两正根，则delta=4(a-2)^2-4(b^2+16)>=0,即(a-2)^2>=b^2+16
两根和=2(a-2)>0,即a>2
两根积=b^2+16>0
a, b都是1~6的整数，有6x6=36种可能
由上，a>=2+ √(b^2+16)>2+ √16=6
故不可能有2个正根
因此概率为0
2. 没实根，则delta<0,即(a-2)^2<b^2+16
即a<2+ √(b^2+16)
因为右边2+ √(b^2+16)的最小值为6，最大值为2+4 √2
所以只需a≠2, b≠0时，方程就没有实根。
对于a，b的区间来说，有实根的情况只是一个点, 因此没实根的概率为1.