Question

求解如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90o，AB=AC=a，AA1=b，点E，F分别

Answer 1

以A为原点，分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),A1(0,0,b),E(a,0,b/3),F(0,a,2b/3)，
向量AE=(a,0,b/3)，向量A1F=(0,a,-b/3),向量EF=(-a,a,b/3)，
(1)当λ=b/a=3时，即b=3a，向量AE=(a,0,a)，向量A1F=(0,a,-a)，
设向量AE与向量A1F的夹角为θ，
则cosθ=(AE·A1F)/(|AE|·|AF|)=-a²/(2a·√2a)=-1/2，∴θ=120°，
∴异面直线AE与A1F所成的角是60°。
(2)设平面AEF的法向量为n=(x,y,1)，
∵n⊥AE，n⊥EF，
∴ax+b/3=0且-ax+ay+b/3=0,
解得x=-b/3a=-λ/3，y=-2λ/3，∴n=(-λ/3,-2λ/3,1)，
同理可求得平面A1EF的法向量m=(2λ/3,λ/3,1)，
∵平面AEF⊥平面A1EF，∴向量n⊥向量m，
∴n·m=-2λ²/9-2λ²/9+1=0，即λ²=9/4，
∴λ=3/2。