Question

关于比较二重积分大小的题目

比较二重积分I=∫∫ln(1+x+y)dσ、J=∫∫(x+y)dσ和K=∫∫√x+y的大小，其中D是由x=0,y=0,x+y=1所围的平面区域

Answer 1

ln(1+x)<x，故ln(1+x+y)<x+y; 0<x,y<1，故x+y<√x+y，故I<J<K。

追问

为什么比较二重积分的大小只要比较被积函数的大小就行了？

追答

因为此时被积函数都是正的，二重积分的值相当于一个体积，底面都相同（积分区域），顶上的曲面越高（二元函数值越大）则体积越大。

Answer 2

容易证明当
0x>ln(1+x),
因为在区域d内，0x+y>ln(1+x+y)>0,由积分对被积函数的单调性，有
k>j>i.