Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为2，

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与双曲线右支交于A、B，若向量AF=2FB（向量）,则k=?

Answer 1

已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与双曲线右支交于A、B，若向量AF=2FB（向量）,则k=?

解：e=c/a=2，故c=2a；
设过右焦点F(c，0)的直线的方程为y=k(x-c)=k(x-2a)，代入双曲线方程得：
b²x²-a²k²(x-2a)²-a²b²=0
将b²=c²-a²=4a²-a²=3a²，代入得：
3a²x²-a²k²(x-2a)²-3a⁴=0，消去a²得：3x²-k²(x-2a)²-3a²=0；
即有 (3-k²)x²+4ak²x-(4k²+3)a²=0
设A(x₁，y₁)，B（x₂，y₂)；
x₁+x₂=-4ak²/(3-k²)；y₁+y₂=k(x₁-2a)+k(x₂-2a)=k(x₁+x₂)-4ak=-4ak³/(3-k²)-4ak=-12ak/(3-k²)；
由于AF=2FB，故焦点F(c，0)内分AB的分比λ=2；
故(x₁+2x₂)/3=c=2a；(y₁+2y₂)/3=0；
即有x₁+2x₂=(x₁+x₂)+x₂=-4ak²/(3-k²)+x₂=6a；故x₂=6a+4ak²/(3-k²)=(18a-2ak²)/(3-k²)；
y₁+2y₂=(y₁+y₂)+y₂=-12ak/(3-k²)+y₂=0；故y₂=12ak/(3-k²)；
B(x₂，y₂)在双曲线上，故其坐标满足双曲线方程，于是得：
[(18a-2ak²)/(3-k²)]²/a²-[12ak/(3-k²)]²/3a²=1
3(18a-2ak²)²-(12ak)²=3a²(3-k²)²
即有(18-2k²)²-48k²=(3-k²)²
化简得3k⁴-114k²+315=0
故得k²=(114+√9216)/6=(114+96)/6=210/6=35
∴k=√35

Answer 2

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
离心率e=c/a=2 ,c=2a,b²=c²-a²=3a²
双曲线方程可化为：
x²-y²/3=a²
右焦点F(2a,0),
直线AB：y=k(x-2a)，k≠0, 即x=1/ky+2a
令1/k=t>0,AB:x=ty+2a 代入 x²-y²/3=a²
3(ty+2a)²-y²-3a²=0
即(3t²-1)y²+12aty+9a²=0 (3t²-1≠0)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=-12at/(3t²-1),y1y2=9a²/(3t²-1) (#)
∴向量AF=（2a-x1,-y1),向量FB=(x2-2a,y2)
∵向量AF=2FB（向量）
∴-y1=2y2代入（#）得：
-y2=-12at/(3t²-1) ①-2y²2=9a²/(3t²-1) ②
①²：y²2=144a²t²/(3t²-1)²代入②
∴-288a²t²/(3t²-1)²=9a²/(3t²-1)
∴-32t²=3t²-1
∴t²=1/35 ,t=1/√35
∴k=√35

Answer 3

楼上的好快啊 我是用手机打的 首先根据离心率确定a.b.c的关系 可得b∧2=3a∧2 可设方程为x∧2/a∧2-y∧2/b∧2=1 再联立两方程 …注意此时带y的好 那个向量可得 y1=-2y2 这时在根据韦达定理将y1 y2消去可的k值 答案确实是√35 纯手机发写 …现场做的 求顶