Question

关于多元函数微分学的问题。。

关于多元函数微分学的问题。。关于多元函数微分学的问题。。如图，在例9中，f（x,0）=x,就是f'x（x,0）=1了吧，为什么写f'（0,0）=1呢？还有对y求偏导也是。。然后在计算那个式子的极限的时候，取△x趋近于0,结果怎么和2有关了？例10中，f（0,0）=0，再对x求偏导也就是0啊，为什么是不存在呢？

Answer 1

1、只需要fx(0,0)与fy(0,0)，其它的偏导数没用。
2、根据可微的定义，我们需要知道这个极限是不是等于0，所以我们先试着寻找一些特殊路径，看极限是不是会非零（如果试验了很多路径，极限都是0，那就要改变方向，说明这个极限为什么是0了），这里就找到了一条，△x＝△y＝1/n，实际上等于不等于1/n是没关系的，就是条射线△x＝△y＞0。
3、按偏导数的定义，是先找到f(x,0)，再对x求导。难道是先求出f(0,0)，再求导，那所有的偏导数太好求了， 恒为零啊。

追问

你好。还是不太懂。。1.f（0,0）=0,再对x,y求偏导也都是0了吧2.在求这个式子的极限的时候，△x,y的值是可以任意取的，然后再看极限值是不是0了吗？3.f'（x,0）=1，这与f'x（0,0）不存在是怎么得来的呢？麻烦解答了。。谢谢！！

追答

把导数的求法搞混了啊，书上应该是特别强调过。求导数f'(a)，应该是先求出f'(x)，再代入x=a。如果是先代入x=a，f(a)再求导，那任何一个函数的导数都是0。
对于多元函数来说，偏导数也是一样的求，要求fx(0,0)，是先代入y=0，f(x,0)对x求导，再代入x=0。
求导要是这么简单，书上就用不着介绍那么多的求导公式，求导法则。

二元函数的导数存在且是0，是要求自变量沿着“任何”路径变化时，极限都存在且等于0，所以找到某条路径使得极限为0，没有多大用处，至多说明极限可能是0，换一条路径极限可能就变了。
对于多元函数极限，说明极限“不存在”很多时候比“存在”简单，因为只要找到两条路径使得极限不一样，多元极限就不存在了。
这里我们考虑的是多元极限是不是0（至于极限是不是存在，暂时是无意义的），所以从其反面着手，寻找一些特殊路径，代入试试看。

f(x,0)=|x|在x=0连续但是不可导，这可是一个经典的例子。

追问

明白了谢谢你！！

Answer 2

可以方程两边取全微分，利用微分形式不变性求得两个偏导数，或者方程两边分别对x与y求偏导数，从而求得两个偏导数（下面图片），不要用隐函数存在定理里那个公式，那样做反而不方便。

Answer 3

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