Question

求解 ： 已知函数f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1].

1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； 2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围.

Answer 1

f(x)的定义域为R，则
抛物线开口向上a²-1>0
与x轴无焦点 (a+1)²-4(a²-1)<0
可以解出a的范围1<a<5/3
若f（x）的值域为R，则(a²-1)x²+(a+1)x+1可以取到(0,正无穷)上所有点，首先考虑a²-1=0的情况，显然a=1时，2x+1可以取到(0,正无穷)上所有点，a=-1时f(x)=lg1=0不满足条件。
当a²-1不等于零时，(a²-1)x²+(a+1)x+1可以取到(0,正无穷)上所有点的条件为
抛物线开口向上a²-1>0，
与x轴有焦点 (a+1)²-4(a²-1)>=0
可以解出a的范围a<-1或a>5/3
综上，a的范围为a<-1或a>5/3或a=1

Answer 2

令g(x)=(a²-1)x²+(a+1)x+1, 则f(x)=lgg(x)定义域为R表明g(x)恒为正
1) a=1时，g(x)=2x+1不是恒为正，不符
a=-1时，g(x)=1>0，符合
a≠1，-1时，g(x)为二次函数，要使g(x)恒为正，则判别式小于0，即(a+1)²-4(a²-1)<0
3a²-2a-5>0
(3a-5)(a+1)>0
得： a>5/3或a<-1
综合得：a>5/3或a<=-1
2）值域为R，则g(x)能取到>0的所有值
a=1时，g(x)=2x+1,符合
a=-1时，g(x)=1不符
a≠1，-1时，g(x)为二次函数，要使其取到>0的所有值，须g(x)开口向上且g(x)=0有解
即a²-1>0，且判别式>=0
得：a>1或a<-1, 且-1=<a<=5/3
综合得： 1=<a<=5/3

Answer 3

1.f(x)的定义域为R，有(a²-1)x²+(a+1)x+1＞0，且必须抛物线开口向上：(a²-1)＞0，(a+1)²-4(a²-1)＞0解不等式组得a＜-1或a＞5/3.
2.f（x）的值域为R，同样有(a²-1)x²+(a+1)x+1＞0，但此时抛物线开口向上向下都行，(a²-1)＞0，(a+1)²-4(a²-1)＞0解不等式组得a＜-1或a＞5/3；
又有(a²-1)＜0时的情况，解得 -1＜a＜1,但根据验证a可以等于-1或1.
所以a的取值范围为-1=＜a=＜1