Question

（2012•山东）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．

（Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．
（解答要有过程）

Answer 1

(1)证明：∵四棱锥E-ABCD，底面△ABD为正三角形，CB=CD，
△BCD为等腰三角形
取BD中点O，连接AC，O在AC上
∵EC⊥BD
∴EO⊥底面于O，AC⊥BD
∴△BED为等腰三角形
∴EB=ED
(2)证明：∵∠BCD=120°，M为线段AE的中点
过D作DF⊥AB于F，F为AB中点
连接DM,MF
由（1）可知∠DBC+∠DBA=90°
∴BC⊥AB==>BC//DF
∴MF//BE
∴面DMF//面BCE
∵DM∈面DMF
∴DM//平面BEC

Answer 2

证明：①连接AC，交BD于O，连接OE，△ABD为正三角形，则AB=AD
又 在平面ABCD中，CB=CD，即 A,C都在BD的垂直平分线上，
则 AC⊥BD 且 O为BD中点 又 EC⊥BD(已知) AC∩EC=C
∴ BD⊥平面ACE 则 BD⊥OE 故 BE=DE
②取AB中点F，连接DF,MF，△ABD为正三角形，则
DF⊥AB，∠ABD=60° 由∠BCD=120°，CB=CD，得 ∠DBC=30°
∴ ∠ABC=∠DBC+∠ABD=90° 即 BC⊥AB
则 在平面ABCD中，得 DF//BC 又 M为线段AE的中点，则 MF//BE
∴ 平面DMF//平面BEC 故 DM∥平面BEC