Question

若二重积分∫∫f(x.,y)dxdy=∫∫dθf(rcosθ,rsinθ)rdr,则积分区域D为 详细见图片

Answer 1

r = 2sinθ
r² = 2rsinθ
x² + y² = 2y
x² + y² - 2y + 1 = 1
x² + (y - 1)² = 1
由于θ∈[0，π/2]，
区域D为x² + (y - 1)² = 1和x ≥ 0，y ≥ 0的部分

或者更简单地，x = √[1 - (y - 1)²]

Answer 2

r≤2sinθ
r²≤2rsinθ
r²cos²θ+r²sin²θ≤2rsinθ
化成直角坐标系rcosθ=x，rsinθ=y，则
x²+y²≤2y 由于θ∈[0，π/2] 所以x≥0，y≥0
所以0≤x≤√(2y-y²)，即积分区域D为0≤x≤√(2y-y²)