Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于E，BF⊥AE于F，AB=BE．

如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于E，BF⊥AE于F，AB=BE．请你判断线段BF与图形中哪条线段相等，先写出你的猜想,在说明理由。 注意：AB=BE

Answer 1

猜想BF=DE
因为AB=BE，所以△ABE是等腰三角形，
设∠BAE=∠BEA=x，则∠ABE=180°-∠BAE-∠BEA=180°-2x
等腰提醒ABCD中，∠C=∠ABE=180°-2x
因为DE⊥BC，∠EDC=90°-∠C=2x-90°，∠DEB=90°
因为AD//BC，所以∠AED=∠EDC=2x-90°
∠BEA+∠AED=x+2x-90°=∠DEB=90°
可以解得x=60°，∠C=180°-2x=60°
RT△DEC和RT△ABF中，
AB=CD,∠BAF=x=60°=∠C
所以RT△DEC≌RT△ABF
所以BF=DE

追问

因为AD//BC，所以∠AED=∠EDC=2x-90°

为什么

追答

这道题有问题，BF实际上与那条线段都不一定相等，理由如下，
以等腰梯形下底中点为原点，下底所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设A,B,C,D四点的坐标分别为(-c,b),(-a,0),(a,0),(c,b)
则，可得，AD=2c，BC=2a，DE=b，EC=a-c,BE=a+c,
CD=AB=BE=a+c,
由勾股定理，CD^2=BE^2+DE^2
带入数值关系，可得b^2=4ac,则可以消去b知道DE=2√(ac)
AE=√(AD^2+DE^2)=2√(c^2+ac)
ABE是等腰三角形，所以AF=FE=1/2 AE=√(c^2+ac)
BF=√(BE^2-FE^2)=√(a^2+ac)
可以发现，已知图形中，没有一条线段是和BF相等的；

另外说一句，如果要让BF=DE，就需要√(a^2+ac)=√(4ac)，可以得到a=3c,也就是说如果等腰梯形下底长度是上底长度三倍的时候可以满足BF=DE，否则，不相等，这次肯定是对的了，不好意思啊，刚开始看错题了