Question

已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称

记g ( x) =f ( x) [ f ( x) + f ( 2) - 1 ]若y=g（x）在区间[1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
在这里http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/a20861d1-63d0-4292-b449-b1181919438c

答案是

当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间[1/2，2]上是增函数，y=logax为减函数，令t=logax，t∈[loga2，loga1/2]，要求对称轴-(loga2-1)/2≥loga1/2

，解得a≤1/2,

可是y = g ( x) = t^2+ ( loga 2 - 1) t.不是一个开口向上的函数么？一个开口向上的函数的左边是减的，为什么它的对称轴-(loga2-1)/2≥loga1/2呢？

Answer 1

分析：∵f(x)=log(a,x)，g(x)=(log(a,x))^2+(log(a,2)-1)*log(a,x)．
可见，g(x)为复合函数，其单调性取决于构成复合函数的二个基本函数的单调性，即同增异减
令t=log(a,x)，区间[1/2,2]
g(x)=(t)^2+(log(a,2)-1)t，为开口向上的抛物线，对称轴为(1-log(a,2))/2
t∈[loga2，loga1/2 ]，
当a>1时，t=log(a,x)在区间[1/2,2]上是增函数
要g(x)在[1/2,2]上是增函数，须取抛物线的上升段，即对称右侧
∴(1-log(a,2))/2<=log(a,1/2)，与题意要求矛盾

当0<a<1时，t=log(a,x)在区间[1/2,2]上是减函数
要g(x)在[1/2,2]上是增函数，须取抛物线的下降段，即对称轴左侧
∴(1-log(a,2))/2>=log(a,1/2)

追问

呃呃，原来一直把logax当y了。。谢谢

Answer 2

解：已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=logax，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=（logax)^2+（loga2-1）logax．
当a＞1时，
若y=g（x）在区间[1/2 ，2]上是增函数，y=logax为增函数，
令t=logax，t∈[loga1/2 ，loga2]，要求对称轴-(loga2-1)/2 ≤loga1/2 ，矛盾；
当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间[1/2 ，2]上是增函数，y=logax为减函数，
令t=logax，t∈[loga2，loga1/2 ]，要求对称轴-(loga2-1)2 ≥loga1/2 ，
解得a≤1/2 ，
所以实数a的取值范围是(0，1/2 ]，