Question

已知正整数a、b、c满足不等式a²+b²＋c²＋42＜ab+9b＋8c，则a、b、c等于？ 请写出计算方法

Answer 1

变形 a²+b²＋(c-4)²＋26＜ab+9b,只有左侧出现c，由于左右两端都是正数，显然c-4的平方越小不等式越容易满足，
进一步变形，得 (a-b)²+(a-9)b＋(c-4)²＋26<0;所以a<9;
依次代入a=1,2，……8，发现当a=3,b=6时(a-b)²+(a-9)b最小，为-27，所以c=4，刚好满足不等式，同时说明c只能取4,取3和5时刚好取等号，不等式有唯一解。
a=3,b=6,c=4;不定方程只能通过缩小变量范围依次求其它变量值

Answer 2

追问

第一步¼b²+¾b²的分数怎么来的

追答

把b方拆成1/4+3/4了啊

Answer 3

(a^2-ab+b^2/4)+(3b^2/4-9b+27)+(c^2-8c+16)<1
(a-b/2)^2+(√3b/2-3√3)^2+(c-4)^2<1

追问

请问你是怎么算的？

追答

接上文
不等式两边乘上4
(2a-b)^2+3(b-6)^2+4(c-4)^2<4
因为a、b、c都是正整数
所以2a-b、b-6、c-4都是正整数
因为0<=4(c-4)^2<4，所以0<=|c-4|<1，所以c=4
(2a-b)^2+3(b-6)^2<4
同理可得，|2a-b|=0或1 |b-6|=0
所以b=6 a=3
综上所述，a=3 b=6 c=4