Question

设函数f（x）=ln（x+1）+ae^（-x）-a，a∈R （1）当a=1时，证明：f（x）在（0，+正无穷）上是增函数

（2）若x∈[0，正无穷)，f(x)≥0，求a的取值范围

Answer 1

（1）f(x)=ln)x+1)-e^(-x)-1,x>0,
f'(x)=1/(x+1)+e^(-x)>0,
∴f(x)↑。
（2）ln(x+1)+ae^(-x)-a>=0(x>=0),
x=0时上式成立；
x>0时1-e^(-x)>0,
a<=ln(x+1)/[1-e^(-x)],记为g(x),
g'(x)={[1-e^(-x)]/(x+1)-e^(-x)ln(x+1)}/[1-e^(-x)]^2
={e^x-[1+(x+1)ln(x+1)]}/{(x+1)e^x[1-e^(-x)]^2},
设h(x)=e^x-[1+(x+1)ln(x+1),x>0,则
h'(x)=e^x-[ln(x+1)+1],
h''(x)=e^x-1/(x+1)>0,
∴h'(x)↑，h'(x)>h'(0)=0,
∴h(x)↑，h(x)>h(0)=0,
∴g'(x)>0,g(x)↑，
∴g(x)>g(0)=0,
综上，a<=0.

Answer 2