Question

已知函数f(x)=|x^2-2x-3|,若a<b<1,且f(a)=f(b),则2a+b的取值范围为____.

Answer 1

f(x) = |x^2-2x-3| = |(x-1)^2 -4| 对称于 x = 1.
f(x) 与 x-轴(y = 0) 的交点为 -1, 3
当 x = 1, f(x) = 4
在 0 < c < 4 区间, 任一条 y = c 的直线与 f(x) 相交于四点 x = a, b, e, f, 当中 a, b < 1,
e, f > 1. f(a) = f(b) = f(e) = f(f) = c
当 f(x) = c,
若 |(x-1)^2 -4| > 0, 则|(x-1)^2 -4| = (x-1)^2 -4 = c
x -1 = +/- √(4+ c )
因为 a < b < 1, 所以 a = 1 - √(4+c)
若 |(x-1)^2 -4| < 0, 则|(x-1)^2 -4| = 4 - (x-1)^2 = c
x -1 = +/- √(4-c)
因为 a < b < 1, 所以 b = 1 - √(4-c)
所以 2a + b = 2 - 2√(4+c) + 1 - √(4-c)
= 3 - [2√(4+c) + √(4-c)]
当 c = 4, b = 1, 2a + b = 3 - 4√2 ~= -2.66
当 c = 0, b = -1, 2a + b = -3
设 g(c) = 3 - [2√(4+c) + √(4-c)]
则 g'(c) = -1/√(4+c) + 1/2√(4-c)
设 g'(c) = 0, 则 2√(4-c) = √(4+c)
c = 12/5
g(12/5) = 3 - [10√(10)]/5 = 3 - 2√(10)
当 0 < c < 12/5, g'(c) < 0, g(c) 单调递减
当 12/5 < c < 4, g'(c) > 0, g(c) 单调递增

所以 3 - 2√(10) <= 2a+b < 3 - 4√2

Answer 2

f(x)=|x2-2x-3|，
=|(x-3)(x+1)|
当
x=1 f(x)=4
令 f(x)=4 x=1或
x=1-√2 或 x=1+√2
b的范围为 -1<b<1
a的范围为 1-√2<a<-1
所以
2a+b的范围为
1-2√2<2a+b<-1

追问

答案是[3-2√10,3-4√2）

Answer 3

自己看坐标，用极值法

追问

这两个都是变量啊