Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,的左右焦点分别为f1,f2

过f1的直线分别交双曲线的两条渐近线于PQ，若P是线段f1Q的中点，且f1Q垂直f2P则此双曲线的离心率为

Answer 1

由双曲线方程x^2/a^2－y^2/b^2＝1，得：双曲线的渐近线方程是：x/a＋y/b＝0、x/a－y/b＝0。
考虑到对称性，不失一般性地设点P、Q分别在渐近线x/a－y/b＝0、x/a＋y/b＝0上。
通过作图可知：P、Q都在x轴的下方，即：P、Q的纵坐标都小于0。

∵Q在渐近线x/a＋y/b＝0上，∴可令点Q的坐标为（at，－bt）。
显然，F1、F2的坐标分别是（－c，0）、（c，0）。
∴由中点坐标公式，得：P的坐标是（（at－c）/2，－bt/2）。

∵P在渐近线x/a－y/b＝0上，∴［（at－c）/2］/a－［－bt/2］/b＝0，
∴b（at－c）＋abt＝0，∴2at－c＝0，∴t＝c/（2a）＝e/2。

∵F2P⊥F1Q、F1P＝PQ，∴F2Q＝F1F2＝2c，∴F2Q^2＝4c^2，
∴（at－c）^2＋（bt）^2＝4c^2，∴（ae/2－ae）^2＋（be/2）^2＝4（ae）^2，
∴a^2/4＋b^2/4＝4a^2，∴a^2＋b^2＝16a^2，∴b^2＝15a^2，∴（b/a）^2＝15，
∴e＝c/a＝√［（a^2＋b^2）/a^2］＝√［1＋（b/a）^2］＝√（1＋15）＝4。
∴满足条件的双曲线的离心率为4。