Question

椭圆问题，求解答，要过程。

已知椭圆M：（a>0）的一个焦点F（-1,0），左右定点分别为A，B，经过F的直线l与椭圆M交于C，D两点。记三角形ABD与三角形ABC的面积分别为S1 ，S2 求|S1-S2|的最大值

Answer 1

∵椭圆x^2/a^2＋y^2/3＝1的一个焦点为F（－1，0），∴c＝1，又c＝√（a^2－b^2），
∴√（a^2－3）＝1，∴a^2－3＝1，∴a^2＝4。
∴椭圆M的方程是：x^2/4＋y^2/3＝1。

一、当直线l不存在斜率时，l的方程是：x＝－1。
　　显然，此时C、D关于AB对称，∴此时｜S1－S2｜＝0。

二、当直线l存在斜率时，令斜率为k，则l的方程是：y＝k（x＋1）。
　　联立：y＝k（x＋1）、x^2/4＋y^2/3＝1，消去y，得：x^2/4＋k^2（x＋1）^2/3＝1，
　　∴3x^2＋4k^2（x＋1）^2＝12，∴（3＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－12＝0。

　　∵C、D都在直线y＝k（x＋1）上，
　　∴可令C、D的坐标分别是（m，k（m＋1））、（n，k（n＋1））。
　　显然，m、n是方程（3＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－12＝0的两根，
　　∴由韦达定理，有：m＋n＝－8k^2/（3＋4k^2）。

　　∵C、D分别在x轴的两侧，∴k（m＋1）、k（n＋1）异号，
　　考虑到对称性，只需考虑k＞0的情况就可以了。
　　∴｜S1－S2｜
　　＝（1/2）｜AB｜｜｜k（m＋1）｜－｜k（n＋1）｜｜
　　＝（1/2）｜AB｜｜k（m＋1）＋k（n＋1）｜＝（1/2）×8k｜m＋n＋2｜
　　＝4k｜－8k^2/（3＋4k^2）＋2｜＝8k｜3/（3＋4k^2）｜＝12k/（3＋4k^2）
　　＝12/（3/k＋4k）。

　　∵3/k＋4k≧2√［（3/k）（4k）］＝4√3，∴1/（3/k＋4k）≦1/（4√3），
　　∴12/（3/k＋4k）≦12/（4√3）＝√3。
　　∴［12/（3/k＋4k）］的最大值是√3，∴｜S1－S2｜的最大值是√3。

综合上述一、二，得：｜S1－S2｜的最大值是√3。