Question

椭圆问题

已知椭圆x^/9+y^=1,过椭圆左焦点F1作直线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M=α(0≤α≤π)，问α取何值时，|MN|等于椭圆的短轴长

Answer 1

c=√(a^2-b^2)=2√2,
左焦点F1坐标为（-2√2,0），
设直线MN斜率为k=tanα，
MN 直线方程为：y=k(x+2√2),
代入椭圆方程，
x^2/9+[k(x+2√2)]^2=1,
(1+9k^2)x^2+36√2k^2x+72k^2-9=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-(36√2k^2)/(1+9k^2),
x1*x2=9(8k^2-1)/(1+9k^2),
|MN|=2b=2,
根据弦长公式，
|MN|=√（1+k^2)(x1-x2)^2
=√（1+k^2)([(x1+x2)^2-4x1x2]
=√（1+k^2)[(-36√2k^2)^2/(1+9k^2)^2-4*9(8k^2-1)/(1+9k^2)]
=√（1+k^2)[(36k^2+36)/(1+9k^2)^2]
=6(1+k^2)/(1+9k^2)
6(1+k^2)/(1+9k^2)=2,
k=±√3/3，
tanα=±√3/3,
∴α=30°，或α=150°，
即当α为30度或150度时，|MN|等于短轴长。

Answer 2

设tana=k,则过F1(-3,0)的直线为y=k(x+3),
建立y=k(x+3)与椭圆的方程可得
(9k~2+1)x~2+54k~2x+81k~2-9=0
则X1+X2=-27k/(9k~2+1)
X1X2=(81k~2-9)/(9k~2+1)
又因为MN=[1+k~2]~(1/2)[(X1+X2)~2-4X1X2]~(1/2)
又因为MN=2
联立以上各式可解出k
(注~表示次方)