Question

求由摆线x=(t-sint),y=(1-cost)的一拱及x轴所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的

求由摆线x=(t-sint),y=(1-cost)的一拱及x轴所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积

Answer 1

答案为3πa²

解题过程如下：

S=∫|y|dx

=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）

又∵x=a(t-sint)

∴dx=a(1-cost)dt

S=∫(0,2π) a²(1-cost)²dt

=a²∫(0,2π) (1-cost)²dt

=a²∫(0,2π) (1+cos²t-2cost)dt

=a²∫(0,2π) [1+(1+cos2t)/2-2cost]dt

=a²∫(0,2π) (3/2+cos2t/2-2cost)dt

=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)

=3πa²

性质

到17 世纪，人们发现摆线具有如下性质：

1．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是 一个不依赖于π的有理数。

2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。

3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。

4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部。

Answer 2

把a换成1就好

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示