Question

已知函数f（x）=-x^3+ax^2+bx在区间（-2，1）内

已知函数f（x）=-x^3+ax^2+bx在区间（-2，1）内，当x= - 1时取得极小值，当x=2\3时取得极大值，（1）求函数的单调区间（2）求函数在[-2,1]上的最大值与最小值

Answer 1

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx在区间（-2，1）内，当x= - 1时取得极小值，当x=2/3时取得极大值；（1）求函数的单调区间；（2）求函数在[-2,1]上的最大值与最小值。

解：f'(x)=-3x²+2ax+b；已知：
f'(-1)=-3-2a+b=0................(1)
f'(2/3)=-4/3+4a/3+b=0........(2)
(2)-(1)得5/3+10a/3=0，故a=-1/2；b=2a+3=-1+3=2；
故f(x)=-x³-(1/2)x²+2x
f'(x)=-3x²-x+2=-(3x²+x-2)=-(3x-2)(x+1)=-3(x-2/3)(x+1)
f(x)在R上的单调性：
当x∈(-∞，-1]∪[2/3，+∞)时f(x)单调减；当x∈[-1，2/3]时单调增。
在[-2,1]上，f(x)的最大值=f(2/3)=-8/27-2/9+4/3=(-8-6+36)/27=22/27；
f(x)的最小值=f(-1)=1-1/2-2=-3/2.
f(x)在区间(-2，1)内的单调性：
f(x)在(-2，-1]∪[2/3，1)内单调减；在区间[-1，2/3)内单调增。

Answer 2

先对原函数求导得f'(x)=-3x^2+2ax+b,
由于函数在-1和2/3取得极值，所以-1和2/3是导函数的两个根，代入可求得a=-1/2, b=2
所以f'(x)=-3x^2-x+2,在区间（-2,1）内画出导函数图象，
（1）易知在区间（-2，-1）和区间（2/3，1）上导函数值小于零，
在区间（-1,2/3)上导函数值大于零，所以函数的单增区间是（-1,2/3)
单减区间是（-2,-1)和（2/3,1)
(2)导函数f'(x)为二次函数，只有两个零点，
因此原函数只有一个极大值和一个极小值，即最大值和最小值且在x=-1和x=2/3时取得
所以最大值f(2/3)=22/27 最小值f(-1)=-3/2